泰勒公式是怎樣得出來的,泰勒公式是怎樣得出來的,淺學了一些數學

時間 2021-08-11 17:37:24

1樓:匿名使用者

公式定義與證明 泰勒公式(taylor's formula) 泰勒中值定理:若函式f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為一個關於(x-x.)多項式和一個餘項的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.

)+f''(x.)/2!?(x-x.

)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.

)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.

)^n+rn 其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.

之間,該餘項稱為拉格朗日型的餘項。 (注:f(n)(x.

)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘。

) 證明:我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.

)(x-x.)+α(根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.

)=f'(x.)δx),其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0,所以在近似計算中往往不夠精確;於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式:

p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.

)^n 來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式。設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.

),p'(x.)=f'(x.),p''(x.

)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.

),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。顯然,p(x.)=a0,所以a0=f(x.

);p'(x.)=a1,a1=f'(x.);p''(x.

)=2!a2,a2=f''(x.)/2!

……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.

)/n!。至此,多項的各項係數都已求出,得:p(x)=f(x.

)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.

)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.

)/n!?(x-x.)^n.

接下來就要求誤差的具體表示式了。設rn(x)=f(x)-p(x),於是有rn(x.)=f(x.

)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.

)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.

)=0。根據柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=(rn(x)-rn(x.

))/((x-x.)^(n+1)-0)=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注:

(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.

之間;繼續使用柯西中值定理得(rn'(ξ1)-rn'(x.))/((n+1)(ξ1-x.)^n-0)=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.

)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間;連續使用n+1次後得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!

,這裡ξ在x.和x之間。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由於p(n)(x)=n!

an,n!an是一個常數,故p(n+1)(x)=0,於是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得,餘項rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?

(x-x.)^(n+1)。一般來說函式時都是為了計算的需要,故x往往要取一個定值,此時也可把rn(x)寫為rn。

麥克勞林式:若函式f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為一個關於x多項式和一個餘項的和: f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?

x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+rn 其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?

x^(n+1),這裡0<θ<1。 證明:如果我們要用一個多項式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表示式,就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.

=0時的特殊形式: f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?

x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 由於ξ在0到x之間,故可寫作θx,0<θ<1。

麥克勞林式的應用: 1、三角函式y=sinx和y=cosx。 解:

根據導數表得:f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 於是得出了週期規律。分別算出f(0)=0,f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最後可得:

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!

+x^9/9!-……(這裡就寫成無窮級數的形式了。) 類似地,可以y=cosx。

2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解:對指數函式y=e^x運用麥克勞林式並捨棄餘項:

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

當x=1時,e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。 3、尤拉公式:

e^ix=cosx+isinx(i為-1的開方,即一個虛數單位) 證明:這個公式把複數寫為了冪指數形式,其實它也是由麥克勞林式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了,就把思路講一下:

先指數函式e^z,然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪週期性,可已把係數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起,剩餘的項寫在一起,剛好是cosx,sinx的式。然後讓sinx乘上提出的i,即可匯出尤拉公式。

有興趣的話可自行證明一下。

2樓:知道了大白

泰勒公式是一個用函式在某點資訊描述其附近取值的公式,如果函式滿足一定的條件,泰勒公式可以用函式在某一點的各階導數值做係數,構建一個多項式來近似表達這個函式。

3樓:匿名使用者

這是高等數學裡的問題……

泰勒公式是怎樣得出來的,淺學了一些數學

4樓:小劉胡侃

函式f(x)在點x0某鄰域內具有直到n+1階導數,我們希望找到一個n次多項式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使這個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值,容易確定這個多項式就是

pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+

+[f(x0)/n!](x-x0)^n

這個多項式就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式.

確定pn(x)一點也不困難,困難的是證明泰勒公式的餘項rn(x)=f(x)-pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)(ξ在x與x0之間),這需要用n+1次柯西中值定理,教科書上都有詳細的證明,可參閱同濟高等

數學第五版上冊p138、p139頁。

5樓:匿名使用者

這一個還真不知道的呢,不知道怎麼回事的呢

數學,泰勒公式,有人知道泰勒公式是怎麼推匯出來的嗎?

6樓:南雨城下

如果你不是數學專業的背背公式就足夠用了,不說我們,哪怕很多非數學專業的博士教授也推不出來的,畢竟這是一個數學家幾乎一生的心血,你幾天就想搞得清楚,怎麼可能呢。

7樓:匿名使用者

比如三角函式是通過直角三角形的邊的比值推導過來的,很容易理解,但泰勒公式我就不懂了 教材裡也沒有找到推導過程 各種三角函式和指數函式的公式我是知道的,但泰勒公式的本身是怎麼推導來的我不知道

8樓:哈哈

^函式duf(x)在點x0某鄰

域內zhi具有直到n+1階導數,我們dao希望找到一個n次多項內式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使容這個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值,容易確定這個多項式就是

pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+

+[f(x0)/n!](x-x0)^n

這個多項式就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式.

9樓:匿名使用者

函式f(x)在點baix0某鄰域內具有du直到n+1階導數zhi,我們希望找到一個n次多dao項式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使這個多內項式與f(x)在容x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值,容易確定這個多項式就是

pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+

+[f(x0)/n!](x-x0)^n

這個多項式就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式.

確定pn(x)一點也不困難,困難的是證明泰勒公式的餘項rn(x)=f(x)-pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)(ξ在x與x0之間),這需要用n+1次柯西中值定理,教科書上都有詳細的證明,可參閱同濟高等數學第五版上冊p138、p139頁.

10樓:匿名使用者

泰勒公式是數學分析中的結果,你用中學數學的思想當然就不懂了。

11樓:匿名使用者

數學,理工學科,高考,學習

12樓:匿名使用者

函式f(x)在點x0某鄰域內具有直到n+1階導數,我們希望找到一個n次多項式專

屬pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使這

個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值,容易確定這個多項式就是.函式f(x)在點x0某鄰域內具有直到n+1階導數,我們希望找到一個n次多項式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使這個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值,容易確定這個多項式就是.

什麼是泰勒公式

泰勒中值定理 若函式f x 在開區間 a,b 有直到n 1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為一個關於 x x.多項式和一個餘項的和 f x f x.f x.x x.f x.2 x x.2,f x.3 x x.3 f n x.n x x.n rn 其中rn f n 1 n 1 x x.n 1 這裡...

用泰勒公式計算極限,要過程,用泰勒公式求極限 要到多少項

2 y 0時,1 y 1 y 2 y 2 8 o y 2 因此x 0時 1 x 2 1 x 2 2 x 4 8 o x 4 即分子 1 x 2 1 x 2 2 x 4 8 o x 4 y 0時,e y 1 y o y 2 因此x 0時e x 2 1 x 2 o x 2 又cos x 1 x 2 2 ...

高數泰勒公式中的餘項問題,高數 請問泰勒公式怎麼知道x0是0還是別的數

先說1,2,peano餘項的問題.其實定理敘述的比較清楚,f x 在0的n階taylor帶有一個o x n 的餘項.從這個角度說cos x 的2階taylor就是cos x 1 1 2 x o x 那麼為什麼又有cos x 1 1 2 x o x 呢?原因很簡單,這是cos x 的3階taylor,...