歸納一下高中數學選修1 1橢圓部分的知識點

時間 2021-09-13 06:06:32

1樓:匿名使用者

橢圓知識點

知識要點小結:知識點一:

橢圓的定義

平面內一個動點 到兩個定點 、 的距離之和等於常數 ,這個動點 的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點,兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.

注意:若 ,則動點 的軌跡為線段 ;

若 ,則動點 的軌跡無圖形.

知識點二:橢圓的標準方程

1.當焦點在 軸上時,橢圓的標準方程: ,其中

2.當焦點在 軸上時,橢圓的標準方程: ,其中 ;注意:1.只有當橢圓的中心為座標原點,對稱軸為座標軸建立直角座標系時, 才能得到橢圓的標準方程;

2.在橢圓的兩種標準方程中,都有 和 ;

3.橢圓的焦點總在長軸上.

當焦點在 軸上時,橢圓的焦點座標為 , ;

當焦點在 軸上時,橢圓的焦點座標為 ,

知識點三:橢圓的簡單幾何性質

橢圓: 的簡單幾何性質

(1)對稱性:對於橢圓標準方程 :說明:

把 換成 、或把 換成 、或把 、 同時換成 、 、原方程都不變,所以橢圓 是以 軸、 軸為對稱軸的軸對稱圖形,並且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形,這個對稱中心稱為橢圓的中心。

(2)範圍:

橢圓上所有的點都位於直線 和 所圍成的矩形內,所以橢圓上點的座標滿足 , 。

(3)頂點:①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。

②橢圓 與座標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點,座標分別為 , , ,

③線段 , 分別叫做橢圓的長軸和短軸, , 。 和 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

(4)離心率:

①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率,用 表示,記作 。

②因為 ,所以 的取值範圍是 。 越接近1,則 就越接近 ,從而 越小,因此橢圓越扁;反之, 越接近於0, 就越接近0,從而 越接近於 ,這時橢圓就越接近於圓。 當且僅當 時, ,這時兩個焦點重合,圖形變為圓,方程為 。

注意:  橢圓 的影象中線段的幾何特徵(如下圖):(1) ; ; ;

(2) ; ; ;

(3) ; ; ;

知識點四:橢圓 與 的區別和聯絡

標準方程

圖形性質 焦點 ,

, 焦距

範圍 ,

, 對稱性 關於 軸、 軸和原點對稱

頂點 ,

, 軸長 長軸長= ,短軸長=

離心率準線方程

焦半徑 ,

, 注意:橢圓 , 的相同點:形狀、大小都相同;引數間的關係都有 和 , ;不同點:兩種橢圓的位置不同;它們的焦點座標也不相同。

規律方法:

1.如何確定橢圓的標準方程?

任何橢圓都有一個對稱中心,兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在座標原點,對稱軸是座標軸,橢圓的方程才是標準方程形式。此時,橢圓焦點在座標軸上。

確定一個橢圓的標準方程需要三個條件:兩個定形條件 ;一個定位條件焦點座標,由焦點座標的形式確定標準方程的型別。

2.橢圓標準方程中的三個量 的幾何意義

橢圓標準方程中, 三個量的大小與座標系無關,是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長,均為正數,且三個量的大小關係為: , ,且 。

可藉助右圖理解記憶:

顯然: 恰構成一個直角三角形的三條邊,其中a是斜邊,b、c為兩條直角邊。

3.如何由橢圓標準方程判斷焦點位置

橢圓的焦點總在長軸上,因此已知標準方程,判斷焦點位置的方法是:看 , 的分母的大小,哪個分母大,焦點就在哪個座標軸上。

4.方程 是表示橢圓的條件

方程 可化為 ,即 ,所以只有a、b、c同號,且a b時,方程表示橢圓。當 時,橢圓的焦點在 軸上;當 時,橢圓的焦點在 軸上。

5.求橢圓標準方程的常用方法:

①待定係數法:由已知條件確定焦點的位置,從而確定橢圓方程的型別,設出標準方程,再由條件確定方程中的引數 的值。其主要步驟是「先定型,再定量」;

②定義法:由已知條件判斷出動點的軌跡是什麼圖形,然後再根據定義確定方程。

6.共焦點的橢圓標準方程形式上的差異

共焦點,則c相同。與橢圓 共焦點的橢圓方程可設為 ,此類問題常用待定係數法求解。

7.判斷曲線關於 軸、 軸、原點對稱的依據:

① 若把曲線方程中的 換成 ,方程不變,則曲線關於 軸對稱;

② 若把曲線方程中的 換成 ,方程不變,則曲線關於 軸對稱;

③ 若把曲線方程中的 、 同時換成 、 ,方程不變,則曲線關於原點對稱。

8.如何求解與焦點三角形△pf1f2(p為橢圓上的點)有關的計算問題?

思路分析:與焦點三角形△pf1f2有關的計算問題時,常考慮到用橢圓的定義及餘弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式 相結合的方法進行計算解題。

將有關線段 ,有關角 ( )結合起來,建立 、 之間的關係.

9.如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關係?

長軸與短軸的長短關係決定橢圓形狀的變化。離心率 ,因為 , ,用 表示為 。

顯然:當 越小時, 越大,橢圓形狀越扁;當 越大, 越小,橢圓形狀越趨近於圓。

2樓:丶

一、課標要求

1.瞭解圓錐曲線的實際背景,瞭解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用;

2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質;

3.瞭解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道它的簡單幾何性質;

4.瞭解圓錐曲線的簡單應用;

5.理解數形結合的思想

二、考點回顧1——橢圓:

1.利用待定係數法求標準方程:

(1)求橢圓標準方程的方法,除了直接根據定義外,常用待定係數法(先定性、後定型、再定參)。

橢圓的標準方程有兩種形式,所謂「標準」,就是橢圓的中心在原點,焦點在座標軸上,焦點f1、f2的位置決定橢圓標準方程的型別,是橢圓的定位條件;引數a、b 決定橢圓的形狀和大小,是橢圓的定形條件。對於方程x^2/m+y^2/n=1 ,m>0,n>0若m>n ,則橢圓的焦點在x軸上;若m0,n>0 ,可以避免討論和繁雜的計算,也可以設ax^2+by^2=1(a>0,b>0) ,這種形式在解題中更簡便。

2.橢圓定義的應用:

平面內一動點與兩個定點f1 、f2 的距離之和等於常數2a ,當2a >|f1f2 |時,動點的軌跡是橢圓;當 2a=|f1f2 |時,動點的軌跡是線段f1f2 ;當 2a<|f1f2 |時,軌跡為存在。

3.橢圓的幾何性質:

(1)設橢圓的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一點為p ,則op^2=x^2+y^2 ,當x=-a,a時有最大值 ,這時p在長軸端點a1或a2處。

(2)橢圓上任意一點p 與兩焦點f1f2 , 構成三角形 稱之為焦點三角形,周長為2a+2c 。

(3)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形的邊長,有a^2=b^2+c^2 。

4.直線與橢圓的相交問題

在解決有關橢圓的問題時,要先畫出圖形,解題時重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用,將對幾何圖形的研究轉化為對代數式的研究,同時又要理解代數問題的幾何意義。數形結合的思想方法是解析幾何中基本的思想方法。解析幾何的本質是用代數研究幾何,如求軌跡方程、範圍問題等,幾乎都與函式有關,實質即將幾何條件(性質)表示為動點座標(x,y) 的方程或函式關係。

因此,自覺地運用函式方程的觀點是解此類問題的關鍵。

3樓:

定義、性質及與圓和雙曲線的聯絡與區別

高中數學選修1-1橢圓部分。題目見圖,速求詳細過程,謝謝❤

4樓:匿名使用者

焦點在baix軸上的橢圓,標準方

程是:dux²/a²+y²/b²=1 (a>b>0),準線方程zhi是daox=±a²/c;

焦點在y軸上回的橢圓,標準方程是:y²/a²+x²/b²=1 (a>b>0),準線方程y=±a²/c.

橢圓的答離心率:e=c/a

由於現在知道準線方程是y=±a²/c=±9,離心率e=c/a=1/3,可以解出,a=3,c=1,所以b=√(a²-c²)=√8

標準方程為:標準方程是:y²/9+x²/8=1

高中數學解析幾何橢圓大題,一道高中數學解析幾何橢圓的題目

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