求一些函式對稱性，週期性的常見結論及其證明方法
1樓：網友
奇函式關於中心對稱。
偶函式關於y軸對稱。
2樓：蕢晨況翼
週期函式是指函式值隨自變數的變化而呈週期性變化，正弦、餘弦函式都是週期函式。表示式是f(x+t)=f(x)(x取任意值），如果乙個函式能找到滿足這一條件的t,那麼這個函式就叫做週期函式，週期為t。
f(1+x)=f(1-x)
1+x)+(1-x)=2
也就是說在這個函式中如果兩個自變數的平均值為1，則它們的函式值相等，也就是此函式關於x=1對稱。
同理，f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4
也就是說在這個函式中如果兩個自變數的平均值為2，則它們的函式值相等，也就是此函式關於x=2對稱。
如果乙個函式同時具備兩個對稱軸，那麼，相臨的軸的間距就是函式的半個週期，你可以對照正弦、餘弦函式的影象發現這個規律。
這樣，本題的函式週期為2，那麼函式必然還關於x=0對稱，所以函式是偶函式。
根據定義或者畫圖象，不過畫圖象比較麻煩，一般選擇用定義。
我來舉個例子。
f(x)=|sinx|+|2cosx|的週期。
我們可以才用定義f(x+t)=f(x)來檢驗。
f(x+2π)=f(x)
f(x+π)sinx|+|2cosx|=f(x)
f(x+π/2)=|cosx|+|2sinx|不等於f(x)
容易看出最小正週期為π
週期函式的週期問題是十分複雜的。如果，兩個函式不能夠化成乙個函式，一般的可以證明如果兩個函式的週期是可公度的，那麼，不同週期的兩個函式的和，差，積，商的週期是這兩個週期的共同的整數倍。如果這倆函式的週期不可公度的，那麼，它們的和，差，積，商不是週期函式。
而對待週期相同的兩個函式只能具體地分別對待。例如：
y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/
y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/
y3=y1+y2=是任意實數，但是沒有最小正週期。
y4=sinx/cosx=tanx,t=π.
y5=sin18x+度是t1=π/9=20度和t2=2π/15=24度的公倍數。
y6=sin2x+sinπ和t2=2是不可公度的，因此此函式不是週期函式。
對於任意x,由偶函式知f(x)=f(-x)；又由影象關於x=1對稱，所以f(-x)=f(x+2)=f(x)。由此即證明了f(x)是週期函式。
週期函式的對稱性和週期性如何體現
3樓：匿名使用者
1:對稱性：乙個函式：f(a+x)=f(b-x)成立，f(x)關於直線x=(a+b)/2對稱。
f(a+x)+f(b-x)=c成笑禪遊立，f(x)關於點（(a+b)/2，c/2）對稱。
兩個函式：y=f(a+x)與y=f(b-x)的影象關於直線x=(b-a)/2對稱。
證明：取一點(m,n)在函式上，證明經過對稱變換的點仍在函式上。
如中心對稱公式證明：取一點(m,n)在函式上，對稱點為(a+b-m,c-n)
f(a+(b-m))+f(b-(b-m)=c 則f(a+(b-m))+n=c,也就是說f(a+(b-m))=c-n 對襲棚稱點也在函式上。
2.週期性：f(x+a)= f(x) 週期2a
f(x+a)= 或－ 1/f(x) 週期2a
證明：設週期為na，f(x+na)=.f(x)
3,週期性與對稱性同時出現，求週期（定義在r上函式），此時畫圖可以得到直觀答案。
關於x=a,x=b對稱 週期 2(a-b)
關於(a,0)和x=b對稱 周碰銷期4(a-b)
如證明關於(a,0)和x=b對稱 週期4(a-b)：f(x)= f(2a-x)
f(x)=f(2b-x)
f(2a-x) =f(2b-x)
f(2a+x) =f(2b+x)
f(x+4(a-b))=f(x+2a-2b)=f(x)
例題 y=f(x)滿足f(x+1)=f(1-x)和f(x+3)=f(3-x)週期為4
證明 f(x+1)=f(1-x)=f(3+(-2-x))=f(3-(-2-x))=f(x+5)
怎樣分辨函式對稱性和週期性
4樓：學而思網校教育
[高三數學]函式對稱性與週期性。
5樓：皮皮鬼
週期性f(x+t)=f(x)，週期為t
對稱性f(a+x)=f(b-x)，函式的對稱軸為x=(a+b)/2
注意觀察兩個式子的區別，週期性x的係數都是正1，對稱性x的係數為一正一負。
6樓：在驕
、對稱性f(x+a)=f(b_x)記住此方程式是對稱性的一般形式。只要x有乙個正乙個負。就有對稱性。
至於對稱軸可用吃公式求x=a+b/2如f(x+3)=f(5_x) x=3+5/2=4
怎樣分辨函式對稱性和週期性？
7樓：匿名使用者
1.對稱性f(x+a)=f(b_x)記住此方程式是對稱性的一般形式。只要x有乙個正乙個負。就有對稱性。至於對稱軸可用吃公式求x=a+b/2
如f(x+3)=f(5_x) x=3+5/2=4等等。此公式對於那些未知方程，卻知道2方程的關係的都通用。你可以去套用，在此不在舉例。
對於已知方程的要求對稱軸的首先你的記住一些常見的對稱方程的對稱軸。如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c對稱軸ｘ＝ｂ
原函式與反函式的對稱軸是ｙ＝ｘ
而對於一些函式如果不加限制條件就不好說它們的對稱軸如三角函式，它的對稱軸就不僅僅是ｘ＝９還有．．．度等等．因為他的定義為ｒ．
ｘ）他的對稱軸則是ｘ＝０還應該注意的是一些由簡單函式平移後要求的對稱軸就只要把它反原成出等的以後在加上平移的數量就可以了．
如ｆ（ｘ令ｔ＝ｘ則ｆ（ｔ可見原方程是由初等函式向右移動了３個單位．同樣對稱軸也向右移３個單位ｘ＝３記住平移是左加右減的形式，如本題的ｘ－３說明向由移），至於週期性首先也的從一般形式說起ｆ（ｘ
注意此公式裡面的ｘ都是同號，而不象對稱方程一正一負．此區別也是判斷對稱性還是週期性的關鍵．
同樣要記住一些常見的週期函式如三角函式什麼正弦函式，餘弦函式正切函式等．當然它們的最小週期分別是．２π當然。
他們的週期不僅僅是這點只要是它們最小週期的正數倍都可以是題目的週期．如ｆ（ｘ
但是如果是ｆ（ｘ的話它的週期就是ｔ＝π因為加了絕對值之後ｙ軸下面的圖形全被翻到上面去了，由圖不難看出起最小對稱周ｔ＝π
y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2
y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2
上面的２個方程ｔ＝π
而對於≥２個週期函式方程的加減複合方程，如果他們的週期相同，則它的週期還是相同的週期．如y=sin2x+cos２x因為他們有乙個公共週期ｔ＝π所以它的週期為ｔ＝π
而對於不相同的週期則它的週期為它們各個週期的最小公倍數．如。
y=sin３πx+cos２πx ｔ１則ｔ＝２
8樓：匿名使用者
它不是f(x)有自變數的嗎，比如f(x-b)=f(x-a)自變數加一起除2是常數的話就看對稱軸，如果相減除2是常數的話就看週期，這樣上面的例子就看週期t=a-b 老師給我們複習的時候就是這樣教的，很有效哦~~
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