1平方 2平方 3平方 n平方 ?

時間 2023-01-25 09:50:02

1樓:輝哥嘚吧嘚

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6證:(利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...

把這n個等式兩端分別相加,得:

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(1+2+3+..n)+n,由於1+2+3+..n=(n+1)n/2,代人上式得:

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(n+1)n/2+n

a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)希望對你有所幫助,望採納。

1平方加2平方加3平方一直加到n平方等於多少

2樓:千山鳥飛絕

1²+2²+3²+…n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

證明過程。:根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1,則有:

a=1時:2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2時:3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3時:4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4時:5³-4³=3×4²+3×4+1.·

·a=n時:(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1

等式兩邊相加:

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+·n²)+3(1+2+3+··n)+(1+1+1+··1)

3(1²+2²+3²+·n²)=n+1)³-1-3(1+2+3+.+n)-(1+1+1+.+1)

3(1²+2²+3²+·n²)=n+1)³-1-3(1+n)×n÷2-n

6(1²+2²+3²+·n²)=2(n+1)³-3n(1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)

所以1²+2²+·n²=n(n+1)(2n+1)/6。

3樓:我不是他舅

這個有一個專門的公式的。

1²+2²+3²+…n²=n(n+1)(2n+1)/6

可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

4樓:明凱無敵瞎

我來一個不同的:sn=1²+2²+3²+…n²sn是一個遞增函式,對sn求導=2·1+2·2+..2·n=n(n-1),是一個二次函式型,所以大膽猜測sn是一個三次函式型,於是假設sn=an³+bn²+cn+d,把s1=1,s2=5,s3=14,s4=30代入sn得出四個方程式,求出sn=1/3n³+1/2n²+1/6n,把s5代入驗證是正確的!

但畢竟是猜的,所以要證明,證明方法如下:

當n=1時此等式成立,n=2時也成立。

假設當n=k時(n>1)也成立,即。

sk=1/3k³+1/2k²+1/6k,只需證明n=k+1時也成立即可,又sk+1-sk=(k+1)²,是成立的所以原等式成立。

5樓:匿名使用者

1²+2²+3²+.n²=n(

n+1)(2n+1)/6

證明如下:(a+1)³-a³=3a²+3a+1(即(a+1)³=a³+3a²+3a+1)

a=1時:2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2時:3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3時:4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4時:5³-4³=3×4²+3×4+1

.a=n時:(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1

等式兩邊相加:

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.n²)+3(1+2+3+.+n)+(1+1+1+.+1)

3(1²+2²+3²+.n²)=n+1)³-1-3(1+2+3+.+n)-(1+1+1+.+1)

3(1²+2²+3²+.n²)=n+1)³-1-3(1+n)×n÷2-n

6(1²+2²+3²+.n²)=2(n+1)³-3n(1+n)-2(n+1)

=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

=n(n+1)(2n+1)

∴1²+2²+.n²=n(n+1)(2n+1)/6.

6樓:心動

^1²+2²+3²+…n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

1^2+2^2+3^2+..n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

拓展資料:推導公式 n-﹙n-1﹚=3n-3n+1,﹙n-1﹚-﹙n-2﹚=3﹙n-1﹚-3﹙n-1﹚+1 寫出1到n-1的式子,將這n-1個式子疊加得 n-1=3[n+﹙n-1﹚+…2﹚]-3[n+﹙n-1﹚+…2]+n-1 由此不難得出1+2+……n-1﹚=﹙n-1﹚n﹙2n-1﹚/6。

7樓:摩羯

^1^2+2^2+3^2+..n^2=利用立方差公式。

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

.n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加。

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+..n^2)+[1^2+2^2+..n-1)^2]-(2+3+4+..n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2+[1^2+2^2+..n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+..n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2-n^2-(1+2+3+..n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+..n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+..n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+..n^2=n(n+1)(2n+1)/6

8樓:紫炳廖婭芳

(n+1)³=n³+3n²+3n+1

以此類推,(n+1)³-n³=3×n²+3n+1.

以上各式相加。

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.n²)+3(1+2+3+..n)+n

所以,1²+2²+3²+.n²=[2n+1)(n+1)n)]/6

9樓:鮮日國漢

∵(n+1)³=n+3n²+3n+1,∴2³=1³+3×1²+3×1+1,3³=2³+3×2²+3×2+1,4³=3³+3×3²+3×3+1,5³=4³+3×4²+3×4+1,6³=5³+3×5²+3×5+1,••n+1)³=n³+3×n²+3×n+1,將以上個等式相加得(n+1)³

=1+3×(1²+2²+3²+•n²)+3n(n+1)/2+

n,即1²+2²+3²+•n²=n(n+1)(2n+1)/6

1平方+2平方+3平方+ +n平方 這個和是多少

10樓:匿名使用者

連續自然數平方和公式:

1²+2²+…n²=n(n+1)(2n+1)÷6

求數列1平方,2平方,3平方……n平方的前n項和

11樓:小小芝麻大大夢

(1/6)n(n+1)(2n+1)。

解答過程如下:

設s=1^2+2^2+..n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1

把上面n個式子相加得:(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+..n^2] +3*[1+2+..n] +n

所以s= (1/3)*[n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] 1/6)n(n+1)(2n+1)

12樓:匿名使用者

設s=1^2+2^2+.+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1把上面n個式子相加得:(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+..n^2] +3*[1+2+.+n] +n

所以s= (1/3)*[n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] 1/6)n(n+1)(2n+1)

13樓:網友

1平方+2平方+3平方+..n平方=n(n+1)(2n+1)/6

1平方+2平方+3平方+....n平方 等於?我要解題過程

14樓:匿名使用者

我記得我的初中數學老師講過一個"階差"的問題,就是說:一列數按照從小到大的順序排列,然後用後面的數字減去前面的數字,這樣每相鄰的兩個數字就能得到一個差,這就是上一列相鄰兩個數的階差。然後再在這列數里面做階差,就有得到了一列數。

就這樣反覆,如果發現在做了某次階差之後,得到了一列相等的數時,就數一數一共做了幾次階差,做了幾次則這道題的通式就是一個幾次函式。

比如你這列數是:1 5 14 30 55 91 ..

則做一次階差後就是這樣: 4 9 16 25 36 ..5-1=4;14-5=9;30-14=16;..

然後再做階差: 5 7 9 11 ..

在做: 2 2 2 ..

這樣,通過做了3次階差就得到了一系列相等的數:2 2 2 ..

說明:"1 5 14 30 55 91 ..這列數的通式肯定為一個3此函式。

即:s=a*n^3+b*n^2+c*n+d

當n=1時, s=1^2=1; 即:1^3*a+1^2*b+1*c+d=1 (1)

當n=2時, s=1^2+2^2=5; 即:2^3*a+2^2*b+2*c+d=5 (2)

當n=3時, s=1^2+2^2+3^2=14; 即:3^3*a+3^2*b+3*c+d=14 (3)

當n=4時, s=1^2+2^2+3^2+4^2=30; 即:4^3*a+4^2*b+4*c+d=30 (4)

這樣我們就得到了一個4元1次方程組,然後用加減消元法解:(2)-(1)=(5);

最後就解出來了:a=1/3

b=1/2c=1/6

d=0所以,1^2+2^2+3^2+..n^2 = 1/3 * n^3 + 1/2 * n^2 + 1/6 * n

你看一看對不對吧~

15樓:匿名使用者

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6證:(利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...

把這n個等式兩端分別相加,得:

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(1+2+3+..n)+n,由於1+2+3+..n=(n+1)n/2,代人上式得:

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(n+1)n/2+n

a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

3立方米等於多少平方米?3立方等於多少平方?

1樓 匿名使用者 在數學上,這道題是要被罰站的。在工程上,這道題 可以商量 就好比我問 3元錢等於幾個饅頭?你立刻會反問 饅頭多少錢一個?對,需要知道單價,否則我這題無解。回到你的題。你如果想把3立方米的石材裁成石板去鋪路,想知道能裁出多少平方米,那你要告訴我石板的厚度。假設石材截面是1平方米,如果石...

1平方 2平方 3平方n平方怎麼算

1 2 2 3 3 3 n n n n n n 1 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 2 1 n n n 1 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 2 1 三個相加等於 2n 1 4n 2 6n 3 n 2n 1 2n 1 1 2 3 n 2n 1 1 n n 1 2 因為是...

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按房產證未滿二年算,過戶稅約2萬元,稅費約為房產報稅價的8 賣方 個人所得稅1 房產證大於5年的唯一住宅免 營業稅5.5 房產證大於2年的免 買方 契稅1.5 其它過戶稅費約數百,以上稅點均按小於144平方米的普通住宅計算 買賣過戶如房產證過五年也不用交個稅,只需交契稅1.5 其它過戶稅費約數百。即...