完全平方數舉例說明,完全平方公式怎樣配方求舉例詳細說明

時間 2021-05-07 20:00:27

1樓:匿名使用者

(一)完全平方數的性質

一個數如果是另一個整數的完全平方,那麼我們就稱這個數為完全平方數,也叫做平方數。例如:

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

觀察這些完全平方數,可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質:

性質1:完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。

性質2:奇數的平方的個位數字為奇數,十位數字為偶數。

證明 奇數必為下列五種形式之一:

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分別平方後,得

(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

綜上各種情形可知:奇數的平方,個位數字為奇數1,5,9;十位數字為偶數。

性質3:如果完全平方數的十位數字是奇數,則它的個位數字一定是6;反之,如果完全平方數的個位數字是6,則它的十位數字一定是奇數。

證明 已知=10k+6,證明k為奇數。因為的個位數為6,所以m的個位數為4或6,於是可設m=10n+4或10n+6。則

10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k為奇數。

推論1:如果一個數的十位數字是奇數,而個位數字不是6,那麼這個數一定不是完全平方數。

推論2:如果一個完全平方數的個位數字不是6,則它的十位數字是偶數。

性質4:偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1。

這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1

(2k)=4

性質5:奇數的平方是8n+1型;偶數的平方為8n或8n+4型。

在性質4的證明中,由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數;由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。

性質6:平方數的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。

因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類:3m,3m+1, 3m+2。平方後,分別得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到:

性質7:不能被5整除的數的平方為5k±1型,能被5整除的數的平方為5k型。

性質8:平方數的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面關於個位數,十位數和餘數的性質之外,還可研究完全平方數各位數字之和。例如,256它的各位數字相加為2+5+6=13,13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加:

1+3=4,4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加,如果得到的數字之和不是一位數,就把所得的數字再相加,直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題:

一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。

下面以四位數為例來說明這個命題。

設四位數為,則

= 1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

顯然,a+b+c+d是四位數被9除的餘數。

對於n位數,也可以仿此法予以證明。

關於完全平方數的數字和有下面的性質:

性質9:完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。

證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式,而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

除了以上幾條性質以外,還有下列重要性質:

性質10:為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。

證明 充分性:設b為平方數,則

==(ac)

必要性:若為完全平方數,=,則

性質11:如果質數p能整除a,但p的平方不能整除a,則a不是完全平方數。

證明 由題設可知,a有質因數p,但無因數,可知a分解成標準式時,p的次方為1,而完全平方數分解成標準式時,各質因數的次方均為偶數,可見a不是完全平方數。

性質12:在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數,即若

n^2 < k^2 < (n+1)^2

則k一定不是完全平方數。

性質13:一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。

(二)重要結論

1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數;

2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數;

3.個位數是6,十位數是偶數的整數一定不是完全平方數;

4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數;

5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數;

6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數;

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數;

8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。

2樓:匿名使用者

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.

完全平方公式怎樣配方求舉例詳細說明

3樓:匿名使用者

例:來1、如4x^自2-3=7x,和3x^2+4=8x,用這兩題舉例,並說明是用完全平方差,還是和:解:

4x^2-3=7x

(2x-3)(2x-1)=0

x=3/2或x=1/2

3x^2+4=8x

(3x-2)(x-2)=0

x=2/3或x=2

其實就是因式分解,左邊化簡成簡單的兩個因式的乘積=0

2、完全平方公式如何配方,x²-8x+4²怎樣得到(x-4)²:訣竅就在於看一次項的係數如果一次項係數是負的,配方後括號裡的符號也是負的。

然後括號裡除了x的那個數等於這個係數的一半,這個係數的一半拿去平方就等於式子的常係數。

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完全平方公式的解法:

開a:取一個數的平方接近a且小於a這數為a(這應該容易吧)

則存在一個數b使得(a+b)^2等於a或更接近a(這個不用證明吧!)

視為(a+b)^2=a=a^2+b^2+2*ab,

在這個地方就要注意了因為a^2非常接近a所以b就會很小,b^2就更小,

就比2ab小得多上式可為a=a^2+2*ab,得b=(a-a^2)/2a,取新數c=a+b,想想c得平方就更接近a迴圈上操作就得了。

4樓:匿名使用者

完全bai平方公式:

兩數和的平方du

,等zhi於它們的

平方和加上它們的積dao的2倍。

(a+b)²=a²﹢

內2ab+b²

兩數差的平容

方,等於它們的平方和減去它們的積的2倍。

﹙a-b﹚²=a²﹣2ab+b²

公式口訣

首平方,尾平方,首尾乘積的二倍放在中間。

也可以是:首平方,尾平方,積的二倍放**。

同號加、異號減,符號添在異號前。

完全平方數是什麼?

5樓:喵喵喵啊

完全平方指用一個整數乘以自己例如1*1,2*2,3*3等,依此類推。若一個數能表示成某個整數的平方的形式,則稱這個數為完全平方數。

完全平方數是非負數,而一個完全平方數的項有兩個。注意不要與完全平方式所混淆。

如果一個正整數 a 是某一個整數 b 的平方,那麼這個正整數 a 叫做完全平方數。零也可稱為完全平方數。

擴充套件資料

完全平方數的性質如下:

1、平方數的個位數字只能是 0, 1,4,5,6,9 。

2、任何偶數的平方一定能被 4 整除;任何奇數的平方被 4(或 8)除餘 1,即被4 除餘 2 或 3 的數一定不是完全平方數。

3、完全平方數的個位數字是奇數時,其十位上的數字必為偶數。完全平方數的個位數字是 6 時,其十位數字必為奇數。

4、凡個位數字是 5 但末兩位數字不是 25 的自然數不是完全平方數;末尾只有奇數個 0 的自然數不是完全平方數;個位數字是 1,4,9 而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。

5、除 1 外,一個完全平方數分解質因數後,各個質因數的指數都是偶數,如果一個數質分解後, 各個指數都為偶數, 那麼它肯定是個平方數。 完全平方數的所有因數的總個數是奇數個。因數個數為奇數的自然數一定是完全平方數。

6、如果 a 、b 是平方數, a=bc ,那麼 c 也是完全平方數。

7、兩個連續自然數的乘積一定不是平方數,兩個連續自然數的平方數之間不再有平方數。

8、如果十位數字是奇數,則它的個位數字一定是6;反之也成立。

6樓:猶爾冬歷雍

完全平方數的性質

一個數如果是另一個整數的完全平方,那麼我們就稱這個數為完全平方數,也叫做平方數。例如:

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

觀察這些完全平方數,可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質:

性質1:完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。

性質2:奇數的平方的個位數字為奇數,十位數字為偶數。

性質3:如果完全平方數的十位數字是奇數,則它的個位數字一定是6;反之,如果完全平方數的個位數字是6,則它的十位數字一定是奇數。

推論1:如果一個數的十位數字是奇數,而個位數字不是6,那麼這個數一定不是完全平方數。

推論2:如果一個完全平方數的個位數字不是6,則它的十位數字是偶數。

性質4:偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1。

性質5:奇數的平方是8n+1型;偶數的平方為8n或8n+4型。

性質6:平方數的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。

性質7:不能被5整除的數的平方為5k±1型,能被5整除的數的平方為5k型。

性質8:平方數的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,

16m+4,16m+9。

什麼是完全平方數,完全平方數是什麼

一 完全平方數的性質 一個數如果是另一個整數的完全平方,那麼我們就稱這個數為完全平方數,也叫做平方數。例如 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,觀察這些完全平方數,可以獲得對它們的...

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