數學的方程解法問題

時間 2021-08-11 17:53:23

1樓:匿名使用者

一元二次方程的解法

一、知識要點:

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中數學的一個重點內容,也是今後學習數學的基 礎。

一元二次方程的一般形式為:ax^2(2為次數,即x的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是隻含一個未知數,並且未知數的最高次數是2 的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法:

1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

二、方法、例題精講:

1、直接開平方法:

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解為x=±m .

例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解。

(1)解:(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=∴原方程的解為x1=,x2=

(2)解: 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=∴原方程的解為x1=,x2=

2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊:ax2+bx=-c

將二次項係數化為1:x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式:(x+ )2=

當b2-4ac≥0時,x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解:將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2

將二次項係數化為1:x2-x=

方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:x2-x+( )2= +( )2

配方:(x-)2=

直接開平方得:x-=±

∴x=∴原方程的解為x1=,x2= .

3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然後計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項係數a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5

解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解為x1=,x2= .

4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓兩個一次因式分別等於零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程:

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)

(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解:2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0,x2=-是原方程的解。

注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解:6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結:一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應使二次項係數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定係數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程是否有解。

配方法是推導公式的工具,掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定係數法)。

例5.用適當的方法解下列方程。(選學)

(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0

(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析:(1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現,方程左邊可用平方差公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。

(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

(3)化成一般形式後利用公式法解。

(4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然後可利用十字相乘法因式分解。

(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

(2)解: x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3,x2=1

(3)解:x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=∴x1=,x2=

(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學)

分析:此方程如果先做乘方,乘法,合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方法)

解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7.用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0

解:x2+px+q=0可變形為

x2+px=-q (常數項移到方程右邊)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)

(x+)2= (配方)

當p2-4q≥0時,≥0(必須對p2-4q進行分類討論)

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

當p2-4q<0時,<0此時原方程無實根。

說明:本題是含有字母系數的方程,題目中對p, q沒有附加條件,因此在解題過程中應隨時注意對字母取值的要求,必要時進行分類討論。

練習:(一)用適當的方法解下列方程:

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

(二)解下列關於x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

練習參***:

(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解:(把2x+3看作一個整體,將方程左邊分解因式)

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

測試 選擇題

1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )

a、x=5 b、x=-5 c、x1=x2=5 d、x1=x2=-5

2.多項式a2+4a-10的值等於11,則a的值為( )。

a、3或7 b、-3或7 c、3或-7 d、-3或-7

3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數,一次項係數和常數項之和等於零,那麼方程必有一個根是( )。

a、0 b、1 c、-1 d、±1

4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為( )。

a、b≠0且c=0 b、b=0且c≠0

c、b=0且c=0 d、c=0

5. 方程x2-3x=10的兩個根是( )。

a、-2,5 b、2,-5 c、2,5 d、-2,-5

6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。

a、 b、 c、 d、無實根

7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。

a、x= b、x=-

c、x1=0.27, x2=-0.27 d、x1=, x2=-

8. 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後,所得的方程是( )。

a、(x-)2= b、(x- )2=-

c、(x- )2= d、以上答案都不對

9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解該方程配方後的方程是( )。

a、(x-1)2=m2+1 b、(x-1)2=m-1 c、(x-1)2=1-m d、(x-1)2=m+1

答案與解析

答案:1.c 2.c 3.b 4.d 5.a 6.d 7.d 8.c 9.d

解析:1.分析:移項得:(x-5)2=0,則x1=x2=5,

注意:方程兩邊不要輕易除以一個整式,另外一元二次方程有實數根,一定是兩個。

2.分析:依題意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3.分析:依題意:有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時, ax2+bx+c=a+b+c,意味著當x=1時,方程成立,則必有根為x=1。

4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零,

則ax2+bx+c必存在因式x,則有且僅有c=0時,存在公因式x,所以 c=0.

另外,還可以將x=0代入,得c=0,更簡單!

5.分析:原方程變為 x2-3x-10=0,

則(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6.分析:δ=9-4×3=-3<0,則原方程無實根。

7.分析:2x2=0.15

x2=x=±注意根式的化簡,並注意直接開平方時,不要丟根。

8.分析:兩邊乘以3得:x2-3x-12=0,然後按照一次項係數配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,

整理為:(x-)2=

方程可以利用等式性質變形,並且 x2-bx配方時,配方項為一次項係數-b的一半的平方。

9.分析:x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1

則(x-1)2=m+1.

中考解析

考題評析

1.(河南省)已知x的二次方程的一個根是–2,那麼k=__________。

評析:k=4.將x=-2代入到原方程中去,構造成關於k的一元二次方程,然後求解。

2.(西安市)用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為( )

(a)x=3+2 (b)x=3-2

(c)x1=3+2 ,x2=3-2 (d)x1=3+2,x2=3-2

評析:用解方程的方法直接求解即可,也可不計算,利用一元二次方程有解,則必有兩解及8的平方根,即可選出答案。

課外拓展

一元二次方程

一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二次的整式方程。

一般形式為: ax^2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前兩千年左右,一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中:求出一個數使它與它的倒數之和等於 一個已給數,即求出這樣的x與,使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他們做出(2);再做出 ,然後得出解答:+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數,所以負根是略而不提的。

埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程,例如:ax^2=b。

在公元前4、5世紀時,我國已掌握了一元二次方程的求根公式。希臘的丟番圖(246-330)卻只取二次方程的一個正根,即使遇到兩個都是正根的情況,他亦只取其中之一。

公元628年,從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公式。在阿拉伯阿爾.花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六種不同的形式,令 a、b、c為正數,如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作討論,是依照丟番圖的做法。

阿爾.花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外,還第一 次

給出二次方程的一般解法,承認方程有兩個根,並有無理根存在,但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的 數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。

韋達(1540-1603)除已知一元方程在複數範圍內恆有解外,還給出根與係數的關係。 我國《九章算術.勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學家還在方程的研究中應用了內插法。

小學奧數,用不定方程解,小學奧數不定方程解法

1 設個位x,十位y 5 x y 10y x 10 即4x 5y 10 因5y尾數為0或5,所以4x的尾數也一定要0或5所以x 5,y 2 這個兩位數為25 2 設個位a,十位b,百位c100c 10b a 4 10b a 25 100c 10b a 40b 4a 25 100c 30b 3a 25...

初一數學問題(要用方程解)

設這個數為x,由題意有 2x 3 x 2 x 7 x 33 解得 x 1386 97 設這個數是x 則2x 3 x 2 x 7 x 33 2 3 1 2 1 7 1 x 33 97 42 x 33 x 33 97 42 x 14 28 97 答 這個數是14又97分之28 1 3x 1 2x 1 7...

初一數學用方程解過程謝謝,初一 數學 用方程解 過程 謝謝

報銷 第一階段是500,第二階段是501至2000,共1500.第三階段是2001至2200,共200.所以報銷數額是500x20 1500x30 200x35 620元。第二問 500x20 1500x30 3000x35 5000x40 3600。4790.25 3600 45 2645元。所以...