1樓：匿名使用者
正交矩陣是實矩陣。①。它的特徵值的模都是1。
②。它的特徵值除±1外，一定是成對出現的共軛虛數（特徵方程為實係數）。
每一對之積為1（模平方）。
注意|a|＝全體特徵值的積。而|a|＝-1.
如果a沒有實特徵值，將共軛的特徵值按對乘之，積都是1，全體乘起來，還是
1.從而得到|a|＝1，矛盾。
如果a有實特徵值。但只有1，沒有-1.與上面情況一樣，也有|a|＝1，不可。
所以a必有特徵值-1.
2樓：汪瑩池司辰
反證法：
因為正交陣特徵值的模均為1，且復特徵值成對出現，所以若1不是a的特徵值，那麼a的特徵值只有-1，以及成對出現的復特徵值。注意到a是奇數階的，所以除去成對出現的復特徵值後必有奇數個特徵值
-1.這樣，利用矩陣a的所有特徵值之積就等於矩陣a的行列式deta
可知：這奇數個-1與成對出現的復特徵值之積為deta=1.
但是，奇數個-1的乘積為
-1，成對出現的復特徵值之積為1，它們的乘積也是-1，與deta=1
矛盾。因此假設不成立，1必為a的一個特徵值。
請問設a是正交矩陣，|a|=1，證明1一定是a的特徵值嗎？還有可能有特徵值1和共軛虛數嗎？？
3樓：光孤子
帶入驗證來
。因為det（
源i-a）=det(（a(at))-a)=det（a(at-i))=det（at-i)=det（a-i)=-det（i-a)（說明at表示a的轉置）,所以det(i-a)=0，所以1是特徵值。因為正交矩陣一定是實矩陣（定義），所以其特徵值只能是實數。
設a為正交陣，且〔a〕=-1，證明b=-1是a的特徵值 10
4樓：匿名使用者
a正交，則a的特徵值的模是1又deta=－1=所有特徵值的乘積，共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是－1。
設a的特徵值為λ，有aα = λα (α≠0)，(a^t)a=e
等式左邊乘於a的轉置a^t，右邊乘於α ^t，得α(α ^t) = λ(a^t)α(α ^t)，取行列式得：
|α(α ^t)| = λ |(a^t)| |α(α ^t)|，又|a^t|=deta=-1，故λ=-1
方陣a為正交陣的充分必要條件是a的行向量或列向量是標準正交向量。
擴充套件資料
1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。
2、正交矩陣不一定對稱，也不一定可以對角化。
3、正交矩陣的特徵值為正負1或者cos(t)+isin(t)，換句話說特徵值的模長為1。
4、正交矩陣的行列式肯定是正負1，正1是叫第一類，負1時叫第二類。
5、對稱的正交矩陣不一定是對角的，只是滿足a'=a=a^，例如副對角線全為1，其餘元素都為零的那個方陣就是這種型別。
6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣，但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。
7、正交矩陣的每一個行(列)向量都是模為1的，並且任意兩個行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量組成r^n的一組標準正交基。
8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1，如果有一個元素為1，那麼這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。
9、一個對稱矩陣，如果它的特徵值都為1或者-1，那麼這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。
10、如果b是一個n維單位實列向量，則e_n-2bb'是一個對稱正交矩陣.因為e_n-2bb'的特徵值為1(n-1重)，-1(1重)，同時還是一個對陣矩陣。
5樓：小鑫沒了蠟筆了
先證明因為a為正交矩陣，a的特徵值為-1或1，設λ是正交矩陣a的特徵值，x是a的屬於特徵值λ的特徵向量，即有ax=入x，且x≠0.兩邊取轉置得x^ta^t=入x^t所以x^ta^tax=入^2x^tx，因為a是正交矩陣所以a^ta=e，所以x^tx=入^2x^tx，由x≠0知x^tx是一個非零的數，故入^2=1，所以入=1或-1。
因為a等於所有特徵值之積，又|a|=-1，所以必有奇數個特徵值為-1，即=-1是a的特徵值。
6樓：隰紫雲的紫竹苑
^|||a為正交陣,即a^t a=e，設a的轉置為a'
有 | e + a | = | a'a + a |= |a|| a' +e|
=-| (a + e)' |
=-| e + a |
所以 | e + a | = 0
就是說 | a - （-e）| =0
這就說明-1是他的一個特徵根
7樓：賈元牧慈
因為特徵值都大於零所以a的行列式deta=1,所以a*=deta*(a^-1)=a^-1=a^t
線性代數問題:設a為正交陣，即a^t a=e,且|a|=-1，證明-1為a的特徵值？
8樓：哆嗒數學網
設a的轉置為a'
有 | e + a | = | a'a + a |= |a|| a' +e|
=-| (a + e)' |
=-| e + a |
所以 | e + a | = 0
就是說 | a - （-e）| =0
這就說明-1是他的一個特徵根
線性代數 設a為正交陣，且deta=-1.證明-1是a的特徵值
9樓：demon陌
a正交，則a的特徵值的模是1又deta=－1=所有特徵值的乘積，共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是－1。
方陣a為正交陣的充分必要條件是a的行向量或列向量是標準正交向量。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。
10樓：流雲
^^設a的特徵值為λ，有aα = λα (α≠0)，(a^t)a=e等式左邊乘於a的轉置a^t，右邊乘於α ^t，得α(α ^t) = λ(a^t)α(α ^t)，取行列式得：
|α(α ^t)| = λ |(a^t)| |α(α ^t)|，又|a^t|=deta=-1，故λ=-1
即：題幹條件下，a的特徵值有且僅有-1
11樓：幽谷之草
正交矩陣的特徵值只能是1或者-1；
矩陣a的行列式值|a|是a的特徵值的乘積。
根據以上兩點正交矩陣的特徵值的乘積是-1，所以不能全部都是1，從而-1是a的特徵值。
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1 因為a是一個n階正交矩陣 所以aa e 所以 a e a e a a a e a a e a e 則 a e a e 0 2 同理 a e a e a a e a a e a e a 1 n a e 又因為n為奇數 所以 1 n 1 即 a e a e 0 a是一個n階正交矩陣,則 aat e ...