1樓：
(1)證：當f(x)為奇函式時，f(-x) = -f(x)∫(a~x) f(-t)d(-t)
=∫(a~x) f(t)d(t)
為偶函式。
2樓：狂熱的電臺司令
∫0→x f(t)dt = f(x)-f(0) , （注意x屬於r，取正取負根本沒問題）定積分的結果就是 f(x)-f(0) 。此時x仍屬於r 。 不妨設 g(x) = f(x)-f(0) 則g(-x)= f(-x)-f(0) = f(x) - f(0) = g(x) 又定義域關於原點對稱，因此是偶函式。
因為 f(0)是常數，因此以上結論成立的關鍵是要證明 f(-x)= f(x)..........①式
證：對①式等號兩邊求導 得 左=f(-x)(-x)'= -f(-x) .............②式。
而右=f(x)
又由條件知f(x)為奇函式，故f(-x)= -f(x) 故②式等於 - [-f(x)]=f(x)=右
故左=右 從而①式成立。
綜上 ，f(t)dt從0到x上定積分是偶函式。這裡的x可以是負數。
另外提醒一點：從a到b的定積分，b不一定大於a。不信看高數上冊。（或從定積分的一個性質可解釋：
∫a→bf(x)dx= - ∫b→af(x)dx 如果b要大於a那麼要這條性質來幹嗎？）
還有如果搞不懂為什麼x屬於r建議這樣看：把x看成是t的一次函式x(t)=t， 由條件知t屬於r,因此x也屬於r。
3樓：匿名使用者
是的，根據定義證明即可，正負沒有影響
為什麼f(x)是偶函式，則∫{0,x}f(t)dt是奇函式
4樓：匿名使用者
設f(x)=∫[0,x]f(t)dt
則f(-x)=∫[0,-x]f(t)dt
作換元u=-t,則dt=-du,當t從0變到-x時,u從0變到xf(-x)=∫[0,x]f(-u)*(-du)=-∫[0,x]f(u)du
=-f(x)
∴f(x)為奇函式
5樓：數碼答疑
設x1=-t，則dx1=-dt
帶入積分f(-x)=∫f(-t)dt=-∫f(x1)dx1=-∫f(x1)dx1
6樓：嚶嚶嚶
我感覺這個錯了 比如f(x)=x^2 原函式可以是1/3x^3+1根本不是奇函式啊 求解答
設函式f（x）連續，則在下列變上限定積分定義的函式中，必為偶函式的（ ）a．∫x0t[f（t）+f（-t）]dt
7樓：手機使用者
由於：f(x)＝
f(t)dt與f（x）的奇偶性關係為：
當f（x）為偶函式時，f(x)＝∫x0
f(t)dt為奇函式；
當f（x）為奇函式時，f(x)＝∫x0
f(t)dt為偶函式．
因此：要判斷f(x)＝∫x0
f(t)dt的奇偶性只需要判斷被積函式f（x）的奇偶性．對於選項a：被積函式為：
g（x）=x[f（x）+f（-x）]；
g（-x）=-x[f（-x）+f（-（-x））]=-x[f（x）+f（-x）]=-g（x）為奇函式，故∫x
0t[f（t）+f（-t）]dt為偶函式，a選項對．對於選項b：被積函式為：
g（x）=x[f（x）-f（-x）]；
g（-x）=-x[f（-x）-f（-（-x））]=-x[f（-x）-f（x）]=x[f（x）-f（-x）]=g（x）偶函式故∫x
0t[f（t）+f（-t）]dt為奇函式，b選項不對．對於選項c：被積函式為：
g（x）=f（x2）
g（-x）=f（（-x）2）=f（x2）=g（x）偶函式故∫x0t[f（t）+f（-t）]dt為奇函式，c選項不對．對於選項d：被積函式為：
g（x）=f2（x）
g（-x）=f2（-x）
因此g（x）不一定具有奇偶性，故∫x
0t[f（t）+f（-t）]dt無法判斷是否為偶函式，d選項不對．故本題選：d．
若f(t)是連續函式且為奇函式，證明他的0到x的積分是偶函式。
8樓：
你就用定義證明就行，需要注意的是中間要用一步換元，就是讓t=-m，就行了。
9樓：匿名使用者
宣告：∫(a,b)f(x)dx=f(x)|(a,b)表示f(x)從a到b的定積分，f(x)為原函式之一
設f(x)=∫(0,x)f(t)dt,
f(x)-f(-x)
=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,-x)f(t)d(t)(做替換s=-t，積分限相應地跟著變)
=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)f(-s)d(-s)=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)[-f(s)](-ds)=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)f(s)ds=0所以f(x)=∫(0,x)f(t)dt是偶函式.
若f（x）是r上的奇函式，且f（x）在[0，+∞）上單調遞增，則下列結論：①y=|f（x）|是偶函式；②對任意的
10樓：半世迷離丶嫂
|①∵duf（x）是r上的奇函式，
∴|f（zhi-x）|dao=|-f（x）|=|f（x）|為偶數專，即函式為偶數，∴①正屬確；
②設f（x）=x，滿足條件，則f（-x）+|f（x）|=-x+|x|；
但當x＜0時，f（-x）+|f（x）|=-x-x=-2x＜0，
∴對任意的x∈r都有f（-x）+|f（x）|=0不成立，∴②錯誤；
③∵f（x）是r上的奇函式，且f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）是r上單調遞增，
根據複合函式的單調性的性質可知y=f（-x）在（-∞，0]上單調遞減，∴③錯誤；
④∵函式f（x）是奇函式，∴y=f（x）f（-x）=-f2（x），
設t=f（x），則y=-t2，
∵f（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴f（x）在（-∞，0]上單調遞增，
且f（x）≤f（0）=0，
函式y=-t2，在（-∞，0]上單調遞增，
根據複合函式單調性之間的性質可知y=f（x）f（-x）在（-∞，0]上單調遞增，∴④正確．
故正確的是①④，
故答案為：①④
設連續函式是奇函式，討論函式fx=∫(0-x)ftdt的奇偶性
11樓：匿名使用者
如果為奇函式
同理，如果f(x)為偶函式，則f(x)為奇函式。
已知函式f（x 1）是定義在R上的奇函式
f x 1 是奇函式，則f x 1 f x 1 令x 0，得 f 1 f 1 所以 f 1 0對於不等式 x1 x2 f x1 f x2 0，不妨令x10，即 f x1 f x2 所以，f x 在r上是單調遞減的 所以，對於不等式f 1 x 0，因為f 1 0 所以，不等式化為 f 1 x 1 得 ...
函式f x 是定義在R上的奇函式且在0上是增函式
函式f x 是定義在r上的奇函式且在 0,上是增函式 易知f x 在 上是增函式 那麼f 4m 2mx f 4 2x 2 4m 2mx 4 2x 2 x 2 mx 2m 2 0 設g x x 2 mx 2m 2 其對稱軸是x m 2 當m 2 0時,m 0 使g 0 0 2m 2 0 m 1,則不成...
已知f x 是定義在r上的奇函式,當o x 1時,f x
解 當0 x 1時，f x x 2 當1 x 2時，0 x 1 1，f x 1 x 1 2，f 1 1 2 1，所以當x 1時，f x x 1 2 1 當2 x 3時，1 x 1 2，0 x 2 1，f x 1 x 2 2 1，f x x 2 2 2 當n x n 1 時，f x x n 2 n。即...